4t d'ESO A • Matemàtiques Acadèmiques
1r Trimestre • UD1 Repàs
Sessió de 60 minuts
Càlcul i Operacions amb Nombres Fraccionaris
Temari complet i sessió didàctica estructurada per a l'aula basada en els materials oficials del curs. Resolució d'operacions bàsiques, simplificació prèvia, operacions combinades amb jerarquia estricta i castells de fraccions de múltiples nivells.
⏱️ Planificació Didàctica de la Sessió (60 minuts)
Distribució temporal optimitzada per a una classe participativa, des del diagnòstic inicial fins al desafiament final.
0 – 10 min
Diagnòstic & Escalfament
Reactivació del concepte de comú denominador ($m.c.m.$), sumes amb signes negatius i múltiples sumands.
Ex. 15.c, 15.f, 15.h
10 – 20 min
Estratègia de Càlcul Ràpid
Modelatge de la cancel·lació de factors (simplificar abans de multiplicar) i gestió de signes en divisions.
Ex. 16.a, 16.b, 16.e, 16.f
20 – 40 min
Modelatge a Pissarra
Resolució guiada d'operacions combinades complexes. Èmfasi en la jerarquia de parèntesis i multiplicacions.
Ex. 17.a, 17.d, 17.e, 17.j
40 – 50 min
El Gran Desafiament
Resolució de castells de fraccions (fraccions contínues) atacant els nivells més interns de baix a dalt.
Ex. 18.b, 18.d
50 – 60 min
Consolidació & Tancament
Pràctica autònoma o en parelles de l'alumnat, comprovació d'errors freqüents i reflexió final.
Ex. 17.g, 17.k, 18.c
💡 Consell Docent d'Aula: Recordeu advertir als alumnes que calcular productes grans com $5 \cdot 24 = 120$ i $12 \cdot 17 = 204$ per després simplificar és la principal font d'errors de càlcul. La regla d'or a 4t d'ESO és simplificar abans de multiplicar!
📄 Format Imprimible per a l'Aula: Podeu imprimir directament la Guia Docent en PDF per portar-la a classe com a referència en paper de tots els passos i solucions.
📖 Fonaments Teòrics i Jerarquia d'Operacions
Conceptes essencials, regles operatives i procediments clau per operar amb nombres racionals.
1. Suma i Resta: El Denominador Comú
Només es poden sumar o restar fraccions amb el mateix denominador. Si són diferents, calculem el mínim comú múltiple:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \frac{m}{b} \pm c \cdot \frac{m}{d}}{m}, \quad m = \text{m.c.m.}(b, d)$$
- Exemple: $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} \implies \text{m.c.m.}(4,6) = 12 \implies \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$.
- Si un terme és un nombre enter $k$, l'escrivim com $\frac{k}{1}$.
2. Producte i Divisió: Cancel·lació Prèvia
El producte es fa en línia recta i la divisió multiplicant per la fracció inversa:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
- Simplificació creuada: Si $a$ i $d$ (o $c$ i $b$) comparteixen divisors comuns, simplifiquem abans d'operar.
- Regla dels signes: $(+) \cdot (-) = (-)$, $(-) \cdot (-) = (+)$.
3. Jerarquia d'Operacions (PEMDAS)
Ordre estricte d'execució en operacions combinades:
- 1r. Parèntesis i claudàtors: Resolem de l'interior cap a l'exterior.
- 2n. Potències i arrels: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$; $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.
- 3r. Multiplicacions i divisions: D'esquerra a dreta en ordre d'aparició.
- 4t. Sumes i restes: D'esquerra a dreta reduint a comú denominador.
4. Castells de Fraccions (Fraccions Complexes)
Una fracció sobre una altra és equivalent a una divisió:
$$\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$$
- Estratègia: Resoldre completament el bloc superior (numerador) i el bloc inferior (denominador) fins a tenir una fracció simple a cada costat abans de fer la divisió final.
✍️ Exercicis Resolts Model per a la Pissarra
Resolució exhaustiva dels exercicis del document de referència, amb justificació pas a pas de cada transformació.
Bloc 1: Sumes, Restes i Simplificació Prèvia
Exercici 15 del document
Exercici 15.c
Sol: 17/12
$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$
1
Busquem el mínim comú múltiple dels denominadors: $\text{m.c.m.}(3, 4) = 12$.
2
Trobem les fraccions equivalents: $\frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12}$.
3
Sumem els numeradors: $\frac{8 + 9}{12} = \mathbf{\frac{17}{12}}$ (ja és irreductible).
Exercici 15.f (Truc de simplificació)
Sol: 83/15
$$\frac{16}{5} + \frac{14}{6}$$
1
Simplifiquem prèviament $\frac{14}{6}$: dividint numerador i denominador entre 2 obtenim $\frac{7}{3}$.
2
Calculem $\text{m.c.m.}(5, 3) = 15$ (en lloc de fer $\text{m.c.m.}(5, 6) = 30$, estalviant nombres grans).
3
Reduïm a comú denominador: $\frac{16 \cdot 3}{15} + \frac{7 \cdot 5}{15} = \frac{48}{15} + \frac{35}{15} = \mathbf{\frac{83}{15}}$.
💡 Destacar a l'aula: simplificar abans redueix a la meitat el càlcul numèric!
Exercici 15.g
Sol: 31/15
$$\frac{2}{3} - \left(-\frac{7}{5}\right)$$
1
Apliquem la regla de signes: restar un nombre negatiu és equivalent a sumar: $\frac{2}{3} + \frac{7}{5}$.
2
Denominador comú: $\text{m.c.m.}(3, 5) = 15$.
3
Operem: $\frac{10}{15} + \frac{21}{15} = \mathbf{\frac{31}{15}}$.
Exercici 15.h (Tres sumands)
Sol: 4/3
$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}$$
1
Com que $12$ és múltiple de $3$ i de $4$, el $\text{m.c.m.}(3, 4, 12) = 12$.
2
Homogeneïtzem: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8 + 3 + 5}{12} = \frac{16}{12}$.
3
Simplifiquem dividint numerador i denominador entre 4: $\frac{16:4}{12:4} = \mathbf{\frac{4}{3}}$.
Bloc 2: Productes, Divisions i Simplificació Creuada
Exercici 16 del document
Exercici 16.a (Cancel·lació directa)
Sol: 1/5
$$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{15}$$
1
Indiquem el producte de numeradors i denominadors: $\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 15}$.
2
Cancel·lem directament el factor 7 present a dalt i a baix: $\frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 15} = \frac{3}{15}$.
3
Simplifiquem $\frac{3}{15}$ dividint per 3: $\mathbf{\frac{1}{5}}$.
Exercici 16.b (Multiplicar per la inversa)
Sol: 10/17
$$\frac{5}{12} : \frac{17}{24}$$
1
Convertim la divisió en producte invertint la segona fracció: $\frac{5}{12} \cdot \frac{24}{17}$.
2
Observem que $24$ i $12$ es poden simplificar directament: $\frac{24}{12} = 2$.
3
Multipliquem: $\frac{5 \cdot 2}{17} = \mathbf{\frac{10}{17}}$ (17 és primer, per tant irreductible).
Exercici 16.e (Signe en producte)
Sol: -35/18
$$\frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)$$
1
Determinem el signe global: positiu per negatiu dóna negatiu ($-$).
2
Multipliquem numeradors i denominadors: $-\frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 3} = \mathbf{-\frac{35}{18}}$.
Exercici 16.f (Divisió amb negatiu)
Sol: -5/14
$$\frac{5}{6} : \left(-\frac{7}{3}\right)$$
1
Multipliquem per la inversa: $\frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 7}$.
2
Simplifiquem el 3 del numerador amb el 6 del denominador: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
3
Resultat final: $-\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 7} = \mathbf{-\frac{5}{14}}$.
Bloc 3: Operacions Combinades amb Parèntesis i Prioritats
Exercici 17 del document
Exercici 17.a
Sol: 2/5
$$\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{5}\right)$$
1
Prioritat del parèntesi: $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{2 + 4}{5} = \frac{6}{5}$.
2
Multipliquem: $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15}$.
3
Simplifiquem entre 3: $\frac{6:3}{15:3} = \mathbf{\frac{2}{5}}$.
Exercici 17.d (Trampa típica de prioritat)
Sol: -6/5
$$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} : \frac{5}{6} - \frac{5}{2}$$
1
Prioritat de la divisió: $\frac{2}{3} : \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5} = \frac{4}{5}$.
2
Substituïm: $\frac{1}{2} + \frac{4}{5} - \frac{5}{2}$.
3
Agrupem les fraccions de denominador 2: $\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{2}\right) + \frac{4}{5} = -\frac{4}{2} + \frac{4}{5} = -2 + \frac{4}{5}$.
4
Operem amb l'enter: $-\frac{10}{5} + \frac{4}{5} = \mathbf{-\frac{6}{5}}$.
⚠️ Alerta d'error: Mai sumar $1/2 + 2/3$ abans de fer la divisió!
Exercici 17.e
Sol: 59/42
$$\frac{1}{3} + \frac{2}{4} : \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{5}\right)$$
1
Resolem l'interior del parèntesi: $\frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$.
2
Simplifiquem $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ i executem la divisió: $\frac{1}{2} : \frac{7}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{7} = \frac{15}{14}$.
3
Suma final amb $\text{m.c.m.}(3, 14) = 42$: $\frac{14}{42} + \frac{45}{42} = \mathbf{\frac{59}{42}}$.
Exercici 17.f
Sol: 11/18
$$\left(\frac{49}{6} - 8\right) \cdot \left(5 - \frac{8}{6}\right)$$
1
1r parèntesi: $\frac{49}{6} - \frac{48}{6} = \frac{1}{6}$.
2
2n parèntesi: $5 - \frac{4}{3} = \frac{15}{3} - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}$.
3
Multipliquem els dos resultats: $\frac{1}{6} \cdot \frac{11}{3} = \mathbf{\frac{11}{18}}$.
Exercici 17.j (Múltiples canvis de signe)
Sol: -2
$$\left(\frac{1}{6} - 1\right)\left(3 - \frac{2}{5}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)$$
1
1r factor: $\frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6}$.
2
2n factor: $\frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.
3
Producte dels dos primers factors: $\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \frac{13}{5} = -\frac{\cancel{5} \cdot 13}{6 \cdot \cancel{5}} = -\frac{13}{6}$.
4
Últim parèntesi: $\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.
5
Resta amb doble signe menys: $-\frac{13}{6} - \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{13}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{12}{6} = \mathbf{-2}$.
Bloc 4: El Gran Desafiament — Castells de Fraccions
Exercici 18 del document
Exercici 18.b (Castell de 2 pisos)
Sol: 3/7
$$\frac{\frac{1}{2} - \left(\frac{3}{4} - 1\right)}{\frac{3}{4} + 1}$$
1
Numerador: $\frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4} \implies \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
2
Denominador: $\frac{3}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$.
3
Divisió final: $\frac{3/4}{7/4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} = \mathbf{\frac{3}{7}}$.
Exercici 18.d (Fracció contínua descendent)
Sol: 14/3
$$5 - \frac{1}{2 + \frac{3 - (7 - 8)}{4}}$$
1
Nivell més intern (parèntesi): $7 - 8 = -1$.
2
Numerador del pis inferior: $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
3
Fracció del pis inferior: $\frac{4}{4} = 1$.
4
Denominador intermedi: $2 + 1 = 3$.
5
Resta final: $5 - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} - \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{14}{3}}$.
🎯 Activitats Autònomes per a l'Alumnat
Intenta resoldre aquests exercicis al teu quadern i comprova la teva solució interactiva.
Repte 1: Operació combinada Ex. 17.g
$$1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{7}{4}\right)$$
Escriu el resultat numèric enter o fracció simplificada:
Repte 2: Fracció amb parèntesi niat Ex. 17.h
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)$$
Escriu la fracció irreductible (format a/b):
Repte 3: Diferència de productes Ex. 17.k
$$\left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{7}{6}\right)\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{15}\right)$$
Introdueix el resultat:
Repte 4: Castell de fraccions Ex. 18.c
$$\frac{(-3) \cdot \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right)}{(-2) \cdot \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{5}\right)}$$
Calcula el valor:
🧮 Calculadora i Comprovador de Fraccions Pas a Pas
Eina pedagògica per comprovar operacions entre dues fraccions i visualitzar tot el desenvolupament matemàtic detallat.
Comprovador de Fraccions Pas a Pas
Introdueix els numeradors i denominadors de dues fraccions i selecciona l'operació: