1. Equacions de 1r Grau amb Denominadors

Mètode en 4 Passos

Una equació de primer grau és una igualtat algebraica on l'exponent més gran de la incògnita és 1.

1r Pas: Treure parèntesis. Aplica la propietat distributiva tenint molta cura amb els signes negatius davant de parèntesis.
2n Pas: Treure denominadors. Troba el $\text{mcm}$ de tots els denominadors i multiplica tots els termes d'ambdós costats de la igualtat pel $\text{mcm}$.
3r Pas: Transposició i agrupació. Agrupa tots els termes amb la incògnita $x$ a un costat i els termes independents a l'altre.
4t Pas: Aïllar la incògnita. Divideix pel coeficient que acompanya la $x$ i simplifica la fracció si és possible.
⚠️ El gran perill d'examen:

El signe menys davant d'una fracció afecta a tot el numerador (cal canviar de signe tots els seus termes en treure els denominadors):

$$-\frac{8-2x}{3} = \frac{-(8-2x)}{3} = \frac{-8+2x}{3}$$

2. Equacions de 2n Grau i Anàlisi del Discriminant

Fórmula & Incompletes

Una equació de segon grau té la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ (amb $a \ne 0$).

Fórmula General: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

🔍 El Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$

Permet saber el nombre de solucions reals sense necessitat de calcular-les:

  • Si $\Delta > 0$: Té 2 solucions reals diferents ($x_1 \ne x_2$).
  • Si $\Delta = 0$: Té 1 solució real doble ($x_1 = x_2 = -b/(2a)$).
  • Si $\Delta < 0$: Té 0 solucions reals (no existeix $\sqrt{\text{negatiu}}$ en $\mathbb{R}$).

⚡ Mètodes Directes per a Incompletes

1. Falta $c$ ($ax^2 + bx = 0$): Extreu factor comú $x$:
$x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{i} \quad x_2 = -\frac{b}{a}$.
2. Falta $b$ ($ax^2 + c = 0$): Aïlla directament la $x^2$:
$x^2 = -\frac{c}{a} \implies x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$.
🧩 Factorització a partir de les solucions:

Si $x_1$ i $x_2$ són les solucions de $ax^2 + bx + c = 0$, el polinomi associat es descompon directament en factors:

$$P(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$$

💡 Exemple d'examen: L'equació $2x^2 - 7x - 4 = 0$ té com a solucions $x_1 = 4 \quad \text{i} \quad x_2 = -\frac{1}{2}$, per tant:
$$2(x - 4)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 4)(2x + 1)$$

3. Sistemes d'Equacions Lineals (2x2)

3 Mètodes Algebraics & Gràfic

Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites representa geomètricament dues rectes en el pla:

1. Substitució

S'aïlla una incògnita en una de les equacions (idealment la que té coeficient 1 o -1) i se substitueix a l'altra equació.

2. Igualació

S'aïlla la mateixa incògnita a les dues equacions i s'igualen les dues expressions resultants.

3. Reducció

Es multipliquen les equacions per nombres adequats perquè els coeficients d'una incògnita siguin oposats, i se sumen membre a membre.

📐 Classificació Geomètrica

SCD

Compatible Determinat: Les rectes són secants i es tallen en 1 únic punt $(x_0, y_0)$.

SI

Incompatible: Les rectes són paral·leles i no es tallen mai. 0 solucions.

SCI

Compatible Indeterminat: Les dues rectes són coincidents. Infinites solucions.

🗺️ Arbre de Decisió i Guia Ràpida d'Examen

Esquema de Síntesi

🌲 Com resoldre qualsevol equació de 2n grau?

Té tots els termes ($a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0$)?
→ Utilitza la fórmula general de Baskhara: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Falta el nombre sol ($c = 0$)?
→ No facis la fórmula! Extreu factor comú $x(ax + b) = 0$. Una solució sempre és $x = 0$.
Falta el terme amb x ($b = 0$)?
→ Aïlla $x^2$ directament i fes l'arrel quadrada amb $\pm$.

🎯 Quin mètode de sistema trio?

Substitució: Quan alguna incògnita té coeficient $1$ o $-1$ (ex: $x + y = 18$).
Igualació: Quan la mateixa incògnita ja està aïllada o és molt fàcil d'aïllar a les dues equacions (ex: $y = 2x - 3$ i $y = -x + 6$).
Reducció: Quan cap coeficient és 1 i tots són números més grans (ex: $-7x + 3y = -9$ i $5x + 2y = 23$).

🚨 Els 5 Errors Fatals en Equacions i Sistemes

❌ Error 1: Oblidar el doble signe $\pm$ a les arrels quadrades

Escriure $x^2 = 144 \implies x = 12$ i oblidar la solució negativa $x = -12$. Totes dues són solucions reals vàlides!

❌ Error 2: No multiplicar els termes independents pel mínim comú múltiple

A l'equació $\frac{2-x}{2} = \frac{2x-3}{3} + 5$, molts alumnes multipliquen les fraccions per $6$ però deixen el $+5$ sense multiplicar per $6$ (ha de ser $+30$).

❌ Error 3: Oblidar multiplicar el terme de la dreta al mètode de reducció

En multiplicar l'equació $5x + 2y = 23$ per $-3$, multiplicar només les incògnites i oblidar el terme independent: $23 \cdot (-3) = -69$.

❌ Error 4: Donar solucions impossibles als problemes de la vida real

Si un problema demana l'edat d'una persona, el nombre de monedes o les dimensions d'una figura, avalua el context i descarta solucions negatives o incoherents!

❌ Error 5: Oblidar el coeficient $a$ en factoritzar el polinomi

Si les arrels de $2x^2 - 7x - 4 = 0$ són $4$ i $-\frac{1}{2}$, la factorització NO és $(x-4)(x+1/2)$, sinó $2(x-4)(x+1/2) = (x-4)(2x+1)$.

📈 Visualitzador i Resoledor Gràfic de Sistemes 2x2

Canvas Dinàmic

Modifica els coeficients de les dues rectes lineals $a_1 x + b_1 y = c_1$ i $a_2 x + b_2 y = c_2$. Observa com es dibuixen en temps real i com es calcula exactament el punt de tall.

Presets d'Examen:
Recta 1: a₁·x + b₁·y = c₁
Recta 2: a₂·x + b₂·y = c₂

🧮 Calculadora de l'Equació de 2n Grau i Discriminant

Resolució Pas a Pas

Introdueix els coeficients $a, b, c$ de l'equació $ax^2 + bx + c = 0$ per obtenir el discriminant $\Delta$ i les solucions desglossades pas a pas:

Exemples Reals:

✍️ Banc de 10 Exercicis Autocorregibles

Extrets directament dels exàmens i fitxes de repàs de l'INS Pere Borrell per a 4t d'ESO A. Resol-los, comprova les teves respostes i revisa les pistes i resolucions guiades.

📝 Simulacre d'Examen Oficial (Sobre 10 punts)

Format Test Raonat

Avalua la teva preparació per a l'examen del 2n Trimestre d'Equacions i Sistemes de 4t d'ESO A. Cada resposta encertada suma 2 punts.