Dues figures són semblants quan tenen la mateixa forma: els angles homòlegs són exactament iguals
i els costats homòlegs són directament proporcionals mitjançant una constant $r$ anomenada raó de semblança.
Teorema de Tales: Si dues rectes secants són tallades per rectes paral·leles entre si, els segments resultants són proporcionals:
$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = r$$
Triangles en Posició de Tales
Dos triangles estan en posició de Tales si tenen un angle en comú i els costats oposats a aquest angle són paral·lels.
El triangle menor és una rèplica exacta a escala del major.
Raons d'Àrees i Volums
Si la raó lineal entre dues figures és $r$:
• La raó entre superfícies o àrees és: $r^2$
• La raó entre volums o capacitats és: $r^3$
En tot triangle rectangle (angle recte de $90^\circ$), l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets:
$$a^2 + b^2 = c^2 \quad \iff \quad c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
on $a, b$ són els catets i $c$ és la hipotenusa.
Per a un angle agut $\alpha$ en un triangle rectangle de catets $c_{\text{op}}$ (oposat), $c_{\text{cont}}$ (contigu o adjacent) i hipotenusa $h$:
Sinus ($\sin \alpha$)
$$\sin \alpha = \frac{\text{Catet Oposat}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{c_{\text{op}}}{h}$$
Cosinus ($\cos \alpha$)
$$\cos \alpha = \frac{\text{Catet Contigu}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{c_{\text{cont}}}{h}$$
Tangent ($\tan \alpha$)
$$\tan \alpha = \frac{\text{Catet Oposat}}{\text{Catet Contigu}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$
| Angle ($\alpha$) |
$0^\circ$ |
$30^\circ$ |
$45^\circ$ |
$60^\circ$ |
$90^\circ$ |
| $\sin \alpha$ |
$0$ |
$1/2 = 0,5$ |
$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ |
$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ |
$1$ |
| $\cos \alpha$ |
$1$ |
$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ |
$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ |
$1/2 = 0,5$ |
$0$ |
| $\tan \alpha$ |
$0$ |
$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$ |
$1$ |
$\sqrt{3} \approx 1,732$ |
$\infty$ (no def.) |
Per calcular l'altura d'un edifici, d'un arbre o d'una muntanya sense enfilar-s'hi, mesurem la distància horizontal $d$ fins a la base i l'angle d'elevació $\alpha$:
$$H = d \cdot \tan(\alpha) + h_{\text{ull}}$$
on $h_{\text{ull}}$ és l'alçada dels ulls de l'observador respecte del terra.